«В мире параллельностей»
Работа раскрывает актуальную тему ,так как и теоретические знания о параллельных прямых используется во многих областях науки ,техники и искусстве .
Оглавление
1. Введение
2. Теоретическая часть
а) определение
б) признаки и свойства параллельных прямых
в) аксиома параллельных прямых
г) уголковый отражатель
д) теорема Фалеса
3. Параллели вокруг нас (мои наблюдения):
а) в быту,
б) у дороги,
в) в архитектуре,
г) в природе.
4.Мои наблюдения .
5. Заключение.
Введение.
Стоит осмотреться вокруг ,и мы увидим ,что вокруг нас много параллелей. Просто мы их не всегда замечаем.
Прямоугольники ,ромбы ,квадраты … каждый ученик сталкивается с ними в школе на уроках геометрии. Даже в них можно увидеть параллели.
Научная формулировка гласит , что геометрия – это раздел математики , который изучает пространственные фигуры и формы.
Еще в эпоху неолита люди составляли на стенах пещер орнаменты из треугольников, ромбов , прямоугольников, кругов. Даже древние художники чувствовали красоту геометрических форм . Со временем человек научился использовать свойства фигур в практической жизни . Геометрия - это древнейшая наука , а первые геометры производили расчеты свыше тысячи лет назад.
Я задалась целью более глубоко изучить признаки, свойства, аксиомы и теоремы о параллельных прямых, научиться применять знания для решения задач , и связать знания о параллельных прямых с реальной жизнью .
Основная часть
Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются .
Признаки параллельных прямых.
Теорема . Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны , то прямые параллельны.
Доказательство . Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны : L1 = L2(рис.1). Докажем ,что а//b.
Если углы 1 и 2 прямые ( рис. 2),то прямые а и b перпендикулярны к прямой АВ и следовательно, параллельны. Рассмотрим случай , когда углы 1 и 2 не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой а (рис. 3).На прямой bот точки В отложим отрезок ВН1 ,равный отрезку АН ,как показано на рисунке 3 , и проведем отрезок ОН1 . Треугольники ОНА и ОН1В равны по двум сторонам и углу между ними ,поэтому L3 = L4 и L5 =L6. Из равенства углов 3 и 4 следует , что точка Н1 лежит на продолжении луча ОН ,т.е. точки Н, О и Н1 лежат на одной прямой , а из равенства углов 5 и 6 следует ,что угол 6 – прямой ( т.к. угол 5 – прямой).Значит ,прямые а и b перпендикулярны к прямой НН1 , поэтому они параллельны. Теорема доказана.
Теорема . Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны , то прямые параллельны.
Доказательство .Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с соответственные углы равны ,например L1=L2 ( рис.4) . Так как углы 2 и 3 вертикальные ,то они равны . Из этих двух равенств следует ,что L3=L4. Но они накрест лежащие , поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.
Теорема . Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 0, то прямые параллельны.
Доказательство . Пусть при пересечении прямых а и b секущей c сумма односторонних углов равна 1800,например L1+L4=1800(рис. 4). Так как углы 3 и 4 – смежные ,то их сумма равна 1800. Из этих двух равенств следует ,что накрест лежащие углы 1 и 3 равны , поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.
Аксиома параллельных прямых.
Через точку , не лежащую на данной прямой ,проходит только одна прямая параллельная данной .
10 . Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых ,то она пересекает и другую .
20 . Если две прямые параллельны третьей ,то они параллельны .
Свойства параллельных прямых.
Теорема . Если две параллельные прямые пересечены секущей ,тог накрест лежащие углы равны.
Доказательство . Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей МN. Докажем , что накрест лежащие углы 1 и 2,равны (рис.5) Допустим ,что углы 1 и 2 не равны . Отложим от луча МN угол РМN ,равный углу 2,так ,чтобы LРМN И L2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых МР и b секущей MN.По построению эти накрест лежащие углы равны , поэтому МР//b.Мы получили ,что через точку М проходят две прямые (а и МР), параллельные прямой b.Но это противоречит аксиоме параллельных прямых .Значит наше допущение неверно и L1=L2 .Теорема доказана .
Следствие . Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых ,то она перпендикулярна и к другой.
Теорема . Если две параллельные прямые пересечены секущей ,то соответственные углы равны.
Доказательство . Пусть параллельные прямые а и bпересечены секущей с. Докажем ,что соответственные углы 1 и 2 равны (рис. 4 ) . Так как а и b параллельны ,то накрест лежащие углы 1 и 3 равны. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Из равенств L1= L3 и L2=L3 следует , что L1=L2.Теорема доказана .
Теорема . Если две параллельные прямые пересечены секущей , то сумма односторонних углов равна 1800.
Доказательство . Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с (рис. 4 ) .Докажем ,что сумма углов 1 и 4 равна 180 0.Так как а//b,то соответственные углы 1 и 2 равны . Углы 2 и 4 смежные , поэтому сумма углов 2 и 4 равна 1800. Из равенств L1=L2 и L2+L4=1800 следует ,чтоL1+L4=1800. Теорема доказана.
Уголковый отражатель .
Мы знаем ,что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 900. Это свойство лежит в основе конструкции простейшего уголкового отражателя . Рассмотрим задачу .
Угол между зеркалами ОА и ОВ равен 900.Луч света ,падающий на зеркало ОА под углом a, отражается от него ,а затем от зеркала ОВ (рис. 6 ) .Доказать ,что падающий и отраженный лучи параллельны .
Решение . По закону отражения света падающий луч SM И луч MN составляют с прямой ОА равные углы а. Так как треугольник МОN прямоугольный , то угол МNО равен 900-а . Применяя закон отражения света , получаем ,что луч МN и отраженный луч NТ составляют с прямой ОВ равные углы . Обращаясь к рисунку 6 ,мы видим ,что LSMN=180 0-2а, LМ NТ=1800-2(900-а)=2а , поэтому LSMN+LMNT=1800. Следовательно падающий луч SM и отраженный луч NT параллельны . Что и требовалось доказать.
Это свойство уголкового отражателя используется в технике . Так, уголковый отражатель ( катафот) устанавливается на заднем крыле велосипеда для того ,чтобы « возвращать назад» свет автомобильных фар.
Уголковый отражатель был установлен на одной из автоматических станций , запущенных на Луну. С поверхности Земли участок Луны, на котором находилась автоматическая станция с уголковым отражателем , был освещен лучем лазера. Луч « вернулся» в то же место ,где находился лазер. Измерив точное время с момента включения лазера до момента возвращения сигнала , удалось с точностью до 1 см найти расстояние от поверхности Луны до поверхности Земли .
Теорема Фалеса.
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую ,то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.( рис.7).
Доказательство . Пусть на прямой L1отложены равные отрезки ,А1А2 , А2А3 ,А3А4…(рис.7) и через их концы проведены параллельные прямые ,которые пересекают прямую L2 в точках В1,В2,В3,В4,…. Требуется доказать ,что отрезки В1 В2 , В2 В3 , В3 В4 ,… равны друг другу. Докажем ,что В1 В2 =В2 В3 .
Рассмотрим сначала случай , когда прямые L1 и L2 параллельны (рис.7а) . Тогда А1 А2 = В1 В2 и А2 А3 = В2 В3 как противоположные стороны параллелограммов А1 В1 В2 А2 и А2 В2 В3 А3 . Так как А1 А2 = А2 А3 ,то В1 В2 = В2 В3 .
Если прямые L1 = L2 не параллельны ,то через точку В проведем прямую L ,параллельную прямой L1 (рис.7б). Она пересечет прямые А 2В2 и А3 В3 в некоторых точках С и D . Так как А1 А2 = А2 А3 , то по доказанному В1 С = СD . Отсюда получаем В1 В2 = В2 В3 . Аналогично : В2 В3 = В3 В4 .
На основе теоремы Фалеса доказана теорема о пропорциональных отрезках: Параллельные ,прямые пересекающие стороны угла , отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки .
Эти знания применяются художниками – дизайнерами в оформлении интерьеров , а архитекторами в строительстве ( стеклянные пирамиды у Лувра ).
Вокруг нас очень много параллелей . С самого утра мы встречаемся с ними .Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда , противоположные ребра которого параллельны .Плитка в ванной или на кухне ,ламинат на полу в комнате образуют параллели .
С помощь параллельных линий можно зрительно расширять , увеличивать пространство .
Выйдем на улицу . края дороги , дорожная разметка , опоры мостов параллельны .
В современном мегаполисе небоскребы параллельны друг другу .
Если окунуться в архитектуру ,то параллелей не сосчитать . Здание Центра современного искусства имени Жоржа Помпиду в Париже – сочетание гигантского прозрачного параллелепипеда с ажурной металлической арматурой. Фасад собора Успения Пресвятой Богородицы имеет огромное количество параллелей , что еще больше возвышает здание . Тадж- Махал , Пафеон , Кул Шариф … моно бесконечно перечислять …
До сих пор я рассматривала параллели , созданные руками человека.
Но ведь в самой природе очень много параллелей . Кристалл соли имеет форму куба , у которого противоположные ребра параллельны . Алмазы чаще встречаются в виде октаэдра, иногда куба .
Но самые искусные геометры – пчелы . Они строят соты в форме шестиугольников . Любая ячейка окружена шестью другими ячейками . Такая форма выбрана неспроста . в правильный шестиугольник поместится больше меда , а зазоры между ячейками будут наименьшими! Разумная экономия усилий и строительных материалов.
Я же заметила ,что в правильных многоугольниках с четным количеством сторон противоположные стороны параллельны . А в правильных многоугольниках с нечетным количеством углов , например, в пятиугольнике ,то можно заметить что , если провести прямую через 1 и 3 вершину , то эта прямая будет параллельна прямой ,проведенной через 5 и 4 вершины .
Заключение .
Проанализировав имеющуюся литературу по теме моей работы и произведя собственные небольшие исследования , я сделала вывод ,что знания о параллельных прямых применяются во многих областях науки и техники .
Я уже сейчас решила , закончив школу , поступить в строительный институт и получить профессию архитектора . Поэтому я буду глубоко изучать геометрию . тем более этот предмет мне очень нравится .
