Тела Солнечной системы: взлёты и падения

Основными характеристиками небесного тела являются его размер (средний радиус R) и масса M. В Солнечной системе имеется одна звезда, восемь планет, пять карликовых планет и огромное количество малых тел (спутников, астероидов, комет и т. д.).

Зная массу и размер, можно определить такие характеристики небесного тела, как:

• g — ускорение свободного падения;
• v₁ — первую космическую скорость.

Также для различных небесных тел интересно сравнить:

• t — время свободного падения с высоты h = 1000 м;
• v — конечную скорость при падении с высоты h = 1000 м.

Как это сделать?

1. Определим ускорение свободного падения вблизи поверхности небесного тела. По закону всемирного тяготения все тела притягиваются друг к другу с силой: $$F=G\frac{mM}{R^{2}}$$ Также силу притяжения к небесному телу можно выразить через сообщаемое этим телом ускорение свободного падения: $$F=mg$$ Приравняем эти выражения и получим формулу для ускорения свободного падения: $$mg=G\frac{mM}{R^{2}}$$ $$g=G\frac{M}{R^{2}}$$
2. Определим первую космическую скорость вблизи поверхности небесного тела. Когда некоторое тело движется по круговой орбите вокруг небесного тела, то на него действует только сила тяжести со стороны этого небесного тела. Поэтому тело движется с определённым выше ускорением свободного падения. Но так как траектория тела — окружность, то это ускорение является ещё и центростремительным: $$a_{Ц}=\frac{v_{1}^{2}}{R}$$ Приравняем два эти выражения и выразим первую космическую скорость: $$\frac{v_{1}^{2}}{R}=G\frac{M}{R^{2}}$$ $$v_{1}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$$
3. Определим время свободного падения с высоты h = 1000 м. Будем считать, что рассматриваемое небесное тело достаточно велико и высота в 1 км не влияет существенно на изменение ускорения свободного падения. Тогда падение тела можно считать равноускоренным. Путь, который проходит тело при прямолинейном равноускоренном движении, можно определить по формуле: $$S=v_{0}+\frac{at^{2}}{2}$$
   Здесь: S = h, v₀ = 0, a = g.
   Получаем: $$h=\frac{gt^{2}}{2}$$ $$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2hR^{2}}{GM}}=R\sqrt{\frac{2h}{GM}}$$
4. Определим конечную скорость при падении с высоты 1000 м. Скорость при равноускоренном движении определяется по формуле: $$v=v_{0}+at$$ Получаем: $$v=gt=\frac{GM}{R^{2}}·R\sqrt{\frac{2h}{GM}}=\frac{1}{R}\sqrt{2GMh}$$

Источник иллюстраций: «Фотобанк Лори».