Определение модуля Юнга резинового жгута
Коэффициент жёсткости в законе Гука характеризует упругие свойства конкретного тела, а модуль Юнга характеризует упругие свойства конкретного вещества. Давайте научимся определять модуль Юнга на примере резины!
Для небольших деформаций взаимосвязь между величиной деформации и возникающей при этом силой упругости описывается законом Гука: $$F_{упр}=k\left(l-l_{0} \right)$$
- Fупр — сила упругости, Н;
- l0 — начальный размер недеформированного тела, м;
- l — конечный размер деформированного тела, м;
- k — коэффициент жёсткости, Н/м.
Коэффициент k характеризует упругие свойства конкретного тела. Он зависит от вещества, из которого изготовлено тело, его формы и размеров. Упругие свойства вещества, из которого изготовлено тело, характеризуются ещё одной физической величиной — модулем Юнга. Взаимосвязь модуля Юнга и коэффициента жёсткости выражается следующим образом: $$k=E\frac{S}{l_{0}}$$
- E — модуль Юнга, Па;
- S — площадь поперечного сечения деформированного тела, м2.
Таким образом, модуль Юнга для данного вещества — величина постоянная. А коэффициент жёсткости тела меняется в процессе деформации, так как при деформации может меняться толщина тела — площадь его поперечного сечения S.
Модуль Юнга для различных веществ различается очень сильно. Для эластичных веществ (например, резины) он составляет порядка одного ГПа. Для неэластичных (например, для стали) — достигает сотен ГПа.
В данном проектном задании предлагается определять модуль Юнга резины. Для этого можно взять, например, банковскую или бельевую резинку либо медицинский жгут.
Если жгут с прикреплённым к нему грузом подвесить на штатив, то жгут растянется. При этом в жгуте возникнет сила упругости: $$F_{упр}=k\left(l-l_{0} \right)$$
По третьему закону Ньютона, по модулю она будет равна весу груза P. Тогда получаем: $$P=k\left(l-l_{0} \right)$$
Подставим вместо коэффициента жёсткости его выражение через модуль Юнга: $$P=E\frac{S}{l_{0}}\left(l-l_{0} \right)$$
Выразим модуль Юнга: $$E=\frac{Pl_{0}}{S\left(l-l_{0} \right)}$$
- Вес тела P измеряется с помощью динамометра.
- Начальная l0 и конечная l длина жгута измеряется линейкой либо сантиметровой лентой.
- Проблемой является только измерение площади поперечного сечения деформированного тела S.
Площадь поперечного сечения деформированного жгута S можно выразить через площадь поперечного сечения недеформированного жгута S0. Действительно, объём жгута при деформации не меняется, поэтому: $$S_{0}l_{0}=Sl$$ $$S=\frac{S_{0}l_{0}}{l}$$ Подставив это выражение в формулу для определения модуля Юнга, получим: $$E=\frac{Pl}{S_{0}\left(l-l_{0} \right)}$$ Теперь в формуле вместо S находится S0, т. е. площадь поперечного сечения недеформированного жгута. Её измерить гораздо легче. Для этого понадобится штангенциркуль либо можно воспользоваться методом рядов. Как именно это можно сделать — прописано в протоколе проектного задания.
