Вы собираетесь познакомиться с парадоксами теории множеств и хотите поделиться с другими своим мнением о нём? Тогда сделайте следующее:

1.Познакомьтесь с парадоксами теории множеств.

2.Заполните Анкету. Подумайте, оправдались ли ваши ожидания от знакомства с проектом.

3.Посмотрите результаты проекта. На вкладке Результаты есть галерея с анкетами других участников проекта. Не бойтесь высказывать свои мысли и делиться впечатлениями в обсуждении. Заполните по нему собственную Анкету.

ПАРАДОКСЫ В МАТЕМАТИКЕ - ситуация, когда в рамках той или иной математической теории доказываются два взаимно исключающих друг друга утверждения, причем каждое из этих утверждений выведено законными с точки зрения данной теории методами. Некоторые из логических парадоксов были известны с античных времён, однако по причине того, что математическая теория ограничивалась одной лишь арифметикой и геометрией, соотнести их с теорией множеств было невозможно. В XIX веке ситуация изменилась коренным образом: Кантор в своих работах вышел на новый уровень абстракции. Он ввёл понятие бесконечности, создав тем самым новый раздел математики и позволив тем самым сравнивать различные бесконечности с помощью понятия «мощность множества» . Однако тем самым он породил множество парадоксов.

Это довольно известная история, и у нее есть много версий.

"To shave or not to shave…"
В одном полку жил-был полковой парикмахер, которого по историческим причинам называют брадобреем. Однажды командир приказал ему брить тех и только тех, кто не бреется сам

Что с ним стало, история умалчивает.

Причем же здесь теория множеств? А вот причем: командир пытался определить множество людей, которых брадобрею нужно брить, таким образом:

Казалось бы, обычное множество, описывается несколькими русскими словами, чем оно хуже, например, множества

Но с этим множеством тут же возникает проблема: непонятно, принадлежит ли этому множеству брадобрей.

Вот другая версия этого парадокса.

Прилагательное русского языка назовем рефлексивным , если оно обладает свойством, которое определяет. Например, прилагательное "русский" – рефлексивное, а прилагательное "английский" – нерефлексивное, прилагательное "трехсложный" – рефлексивное (это слово состоит из трех слогов), а прилагательное "четырехсложный" – нерефлексивное (состоит из пяти слогов)

Но давайте рассмотрим прилагательное "нерефлексивный". Оно рефлексивное или нет?

Можно заявить, что прилагательное "нерефлексивный" не является ни рефлексивным, ни нерефлексивным. Но как тогда быть с таким заклинанием:

(Это заклинание называется законом исключенного третьего; на нем, собственно, и основан метод от противного.)

Наконец, третья версия парадокса. Рассмотрим множество

– мы включаем во множество M только те множества A, которые принадлежат сами себе. Бывают же множества, которые содержат другие множества. Например, пусть

множеству A принадлежат числа 1, 2, 3, а множеству B – два элемента: множество {1,2} и число 3. Возвращаясь к коробкам, это можно сказать так: одни коробки можно класть в другие коробки. (Оказывается, что в каждой такой последовательности вложенных коробок всегда конечное число элементов – этому есть глубокие причины.)

Рассмотренное множество M – это своего рода "брадобрей". Если предположить, что M О M, сразу приходим к выводу, что M П M. Если же предположить, что M П M – получаем, что M О M.

Столкнувшись с этими парадоксами, создатели теории множеств осознали, что нельзя задавать множества произвольными словосочетаниями. После этого они стали бороться с парадоксами двумя способами.

Первый способ – способ Кантора, придумавшего "наивную теорию множеств", в которой запрещаются все действия и операции, ведущие к парадоксам. Идея в следующем: разрешается работать со множествами, которые " встречаются в природе", также разрешается работать со множествами, которые получаются из них разумными теоретико-множественными операциями. Пусть, например,

(эти множества "встречаются в природе"), из них можно получить объединение AИB, пересечение AЗB. Можно даже умножить множество A на множество B: по определению

– множество пар, в которых первый элемент из первого множества, а второй – из второго. В нашем случае A×B – это множество пар, в которых первый элемент – учащийся школы, а второй – какая-нибудь непрерывная функция.

Другой способ – аксиоматический. Этот способ преодоления парадоксов развивали Цермело и Френкель (система аксиом Цермело–Френкеля), Гедель и Бернайс (система аксиома Геделя–Бернайса). Согласно этой теории, множество – это нечто, удовлетворяющее аксиомам, например, следующим¹.

Далее Кантор в 1899 году открыл парадокс, названный его именем.

Оба вышеуказанных парадокса с логической точки зрения идентичны «Лжецу» либо «Брадобрею»: высказываемое суждение обращено не только на нечто объективное по отношению к нему, но и само на себя. Однако следует обращать внимание не только на логическую сторону, но и на понятие бесконечности, которое тут наличествует. В литературе ссылаются на работу Пуанкаре, в которой он пишет: «вера в существование актуальной бесконечности… делает необходимым эти непредикативные определения'' .

В целом же имеют место основные моменты :

• в данных парадоксах нарушается правило чётко разделять „сферы“ предиката и субъекта; степень смешения близка к подмене одного понятия другим;
• обычно в логике предполагается, что в процессе рассуждения субъект и предикат сохраняют свой объём и содержание, в данном же случае происходит
  переход из одной категории в другую, что даёт в результате несоответствие;
• наличие слова „все“ имеет смысл для конечного числа элементов, в случае же бесконечного их количества возможно наличие такого, которое
  для определения себя потребует определение множества;
• нарушаются основные логические законы:
  
  
  • закон тождества нарушается тогда, когда обнаруживается нетождественность себе субъекта и предиката;
  • закон противоречия — когда с одинаковым правом выводятся два противоречащих друг другу суждения;
  • закон исключённого третьего — когда это третье приходится признавать, а не исключать, поскольку ни первое, ни второе не могут быть признаны одно без другого, т.к. они оказываются одинаково правомерными.